CONTOH SOAL BARISAN DAN DERET ARITMATIKA BESERTA JAWABANNYA

Pembahasan mata pelajaran matematika kali ini akan mengupas dilema mengenai barisan serta deret aritmatika.
Persoalan yg paling acapkali ada atau ditanyakan merupakan mencari suku ke-n dari suatu barisan, memilih beda antar suku, memilih banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.
Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan tahu terlebih dahulu apa itu barisan serta deret aritmatika. Lantaran selain barisan serta deret aritmatika, kita pula mengenal barisan dan deret geometri. Tetapi pada pembahasan kali ini, fokus kita teteap dalam barisan serta deret aritmatika.

Barisan serta Deret Aritmatika

Setelah diuraikan pada penerangan selanjutnya, dibutuhkan kita mengerti misalnya apa barisan atau deret dan perbedaannya dan juga mengetahui maksud dari barisan serta deret aritmatika. Disamping itu kita dapat tahu yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan adalah suatu susunan sapta yg dibentuk dari suatu urutan eksklusif.  Setiap sapta dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

• 1, 2, tiga, 4, lima,6,7  (Bilangan 1 adalah suku pertama, sapta dua adalah suku kedua dst)
• 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 adalah suku ketiga, bilangan 17 adalah suku keenam).
• 14, 12, 10, 8, 6, 4, dua (Bilangan 12 merupakan suku kedua, sapta 10 merupakan suku ketiga dst).

Sehingga kentara bahwa barisan itu gugusan sapta yg mempunyai pola eksklusif, sedangkan sapta-sapta yg membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak menjadi suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan dianggap deret. Jika U1,U2,U3,…..un
maka : U1 + U2 + U3 +… +Un merupakan deret.

Contoh :

1 + 2 + tiga + 4 +… + .un

2 + 4 + 6 + 8 +… + .un

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika merupakan barisan yg memiliki nilai selisih antara dua suku yg berurutan selalu tetap. Selisih 2 suku berurutan tersebut dianggap nilai beda, disimbolkan menggunakan b.
Dalam barisan aritmatika, urutan disparitas antara satu suku dengan suku berikutnya adalah kontinu. Dengan istilah lain, kita hanya menambahkan nilai yg sama setiap saat.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku menggunakan suku berikutnya.

Secara generik, kita dapat menulis barisan aritmatika tadi :

a, a+b, a+2b, a+3b, ...

dimana:

• a merupakan suku pertama, 
• b merupakan nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

Un = a + (n - 1)b
dimana :

• Un: suku ke-n 
• a: suku pertama 
• b: nilai beda 
• n: poly suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = Un-U(n-1)
dimana :

• b merupakan nilai beda
• Un: suku ke-n 

3. Untuk mencari Suku Tengah 
Kita bisa mencari suku tengah yg memiliki n suku gasal (banyaknya sukunya ganjil ) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka dipakai rumus :

Ut = a + Un 2
dimana :

• Ut merupakan suku tengah
• a merupakan suku pertama
• Un merupakan suku ke-n (pada hal ini bertindak menjadi suku terakhir)

Namun bila untuk mencari suku tengah yg kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:

Ut = a + (n-1)b 2dimana :

• Ut merupakan suku tengah
• a merupakan suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai menggunakan indikasi plus (+).

Contoh :

• 2 + 4 + 6 + 8 + 10
• 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:

Sn = n 2 (a+Un)
atau
Sn = n 2 (2a + (n-1)b)dimana :

• Sn menyatakan jumlah suku ke-n
• a merupakan suku pertama
• Un menyatakan nilai suku ke-n
• b menyatakan nilai beda
• n menyatakan banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1
Sebuah barisan aritmatika mempunyai jumlah suku gasal. Apabila suku pertamanyanya 4 serta suku terakhirnya merupakan 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16
Pembahasan

a = 4
Un = 20
Ut= a + Un 2 = 20 + 42 = 12

Jawab : a


Soal No.2
Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah dua. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12
Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b 2Ut= a + (n-1)b 2= dua + (7-1)2 2 = 8

Jawab : b
Soal No.3
Diketahui suatua barisan aritmatika :dua, 5, 8, 11, 14, .........un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. Un = 3n -1
a. Un = 3n -2
c. Un = 3n + 1
d. Un = 3n + 3
Pembahasan:

a = 2
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= dua + (n-1)3 = dua + 3n - 3 = 3n-1

Jawab : a
Soal No.4
Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu merupakan
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10
Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-dua serta ke-4 :
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ dua a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6
Dari penjumlahan suku ke-tiga serta ke-lima :
(dua) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8
Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... Substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (dua):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = dua.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah dua serta suku ke-7 barisan aritmatika tersebut merupakan :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = dua + 6(2)⇒ U7 = 14

Jawab: b
Soal No.5
Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua merupakan 5 dan suku kelima merupakan 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155
Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)
Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan dua)
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2
Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn= n 2 (a+Un)
⇒ S10= 10 2 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (dua + dua + 9.tiga)
⇒ S10= 155

Jawab: d