MEMAHAMI NILAI MINOR MATRIKS MINOR NILAI KOFAKTOR MATRIKS KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOIN

Tutorial Matematika kita kali yang berkenaan menggunakan matriks, akan mengdiskusikan tentang nilai minor, nilai kofaktor, matriks kofaktor dan pula matriks adjoin.
Dalam tutorial matriks sebelumnya telah poly disinggung hal-hal yg berkenaan dengan : cara mencari determinan matriks, cara mencari invers matriks, cara mencari transpose matriks. Bahkan dalam contoh soal invers matriks , sudah disinggung mengenai matriks kofaktor serta matriks adjoin. Dalam pembahasan kali ini kita akan lebih menyelami lagi materi matriks kofaktor dan matriks adjoin agar bisa memahaminya menjadi lebih baik lagi.

Nilai Minor Matriks Ordo 2x2

Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan menggunakan 𝑀ijadalah matriks bagian berdasarkan 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.
Misalkan kita mempunyai matriks ordo 2x2 seperti dibawah ini :

A =

abcd
Maka nilai minor matriks akan dicari masing-masing dalam baris serta kolomnya seperti berikut :

• Nilai minor matriks dalam baris pertama dan kolom pertama :
  

  M(1,1) =

  abcd

    = d

• Nilai minor matriks dalam baris pertama serta kolom ke 2 :
  

  M(1,dua) =

  abcd

    = c

• Nilai minor matriks dalam baris ke 2 dan kolom pertama:
  

  M(dua,1) =

  abcd

    = b

• Nilai minor matriks dalam baris kedua serta kolom ke 2:
  

  M(dua,dua) =

  abcd

    = a

Jadi, komponen minor dari matriks A adalah :

MA =

dcba
Contoh.1
Tentukanlah minor matriks A :

A =

4782
Pembahasan:

• Nilai minor matriks dalam baris pertama dan kolom pertama :
  

  M(1,1) =

  4782

    = 2

• Nilai minor matriks dalam baris pertama serta kolom ke 2 :
  

  M(1,dua) =

  4782

    = 8

• Nilai minor matriks dalam baris ke 2 dan kolom pertama:
  

  M(dua,1) =

  4782

    = 7

• Nilai minor matriks dalam baris kedua serta kolom ke 2:
  

  M(dua,dua) =

  4782

    = 4

Sehingga komponen minor berdasarkan matriks A merupakan :

MA =

2874

Nilai Minor Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari nilai minor matriks ordo 3x3 secara prinsip masih sama seperti matriks ordo 2x2, tetapi nantinya nilai yang didapatkan adalah nilai determinan.
Untuk mendapatkan gambaran atau pemahaman yg lebih kentara, kita akan langsung sertakan menggunakan contoh.
Tentukan nilai minor buat matriks ordo 3x3 dibawah ini :

A =

5 71-4102 03
Pembahasan:

• Nilai minor matriks pada baris pertama dan kolom pertama
  

  M(1,1) =

  1003

  = 1·tiga - 0·0 = tiga - 0 = 3

• Nilai minor matriks dalam baris pertama dan kolom kedua
  

  M(1,dua) =

  -4023

  = -4·tiga - 0·dua = -12 -0 = -12

• Nilai minor matriks dalam baris pertama serta kolom ketiga
  

  M(1,tiga) =

  -4120

  = -4·0 - 1·dua = 0 - 2 = -2

• Nilai minor matriks dalam baris kedua dan kolom pertama
  

  M(dua,1) =

  7103

  = 7·tiga - 1·0 = 21 - 0 = 21

• Nilai minor matriks dalam baris ke 2 dan kolom kedua
  

  M(dua,dua) =

  5123

  = 5·tiga - 1·2 = 15 - 2 = 13

• Nilai minor matriks dalam baris ke 2 dan kolom ketiga
  

  M(2,3) =

  5720

  = lima·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14

• Nilai minor matriks pada baris ketiga serta kolom pertama
  

  M(tiga,1) =

  7110

  = 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1

• Nilai minor matriks dalam baris ketiga serta kolom kedua
  

  M(tiga,dua) =

  51-40

  = 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4

• Nilai minor matriks dalam baris ketiga dan kolom ketiga
  

  M(3,3) =

  57-41

  = lima·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Sehingga nilai minor buat matriks A merupakan :

A =

3  -12-2  2113 -14-1 4   33

Nilai Kofaktor

Setelah kita menerima nilai minor menurut masing-masing elemen matriks, maka baru dapat  dilanjutkan dengan memilih nilai kofaktor. Dengan demikian, nilai kofaktor dapat dicari apabila nilai minor dicari terlebih dahulu.
Nila kofaktor yaitu suatu nilai yg mengandung nilai positif (+) atau nilai minus (-) dalam masing-masing nilai minor.
Berikut ini merupakan nilai kofaktor buat sebuah matriks nxn :
+- +..- +- ..+- +..........
Jika kita ambil model diatas, menurut nilai minor matriks ordo 3x3 yang telah diketahui, maka:

• C(1,1)=+tiga = 3
• C(1,2)=-(-12)= 12
• C(1,3)=+(-dua)= -2
• C(dua,1)=-21= -21
• C(dua,2)=+13= 13
• C(dua,tiga)=-(-14)= 14
• C(3,1)=+(-1)= -1
• C(3,dua)=-(4)= -4
• C(3,3)=+(33)= 33

Sehingga matriks kofaktornya merupakan :

CA =

tiga   12 -2-2113-14-1  -4 33

Matriks Adjoin

Setelah didapatkan matriks kofaktor (C), maka  kita sudah mampu mendapatkan Adjoin dari matrik tadi dengan cara melakukan transpose matriks. Tutorial lebih lanjut mengenai transpose matriks dapat ditemukan dalam : Contoh Soal Transpose Matriks serta Pembahasannya.
Dari matriks kofaktor :

CA =

tiga   12 -2-2113-14-1  -4 33
Maka Matriks Adjoinnya merupakan :

Adj(A) =

 3  -21-112 13-4  -dua-1433